Generalidades de las matemáticas de la antigüedad

La matemática de hoy proviene del pensamiento original sobre número, magnitud y forma. Ya no es válido decir que la matemática es la ciencia del número y de la magnitud. Número, magnitud y forma se remontan a los primeros días de la razón humana. La capacidad de distinguir número, tamaño, orden y forma no son exclusivos del ser humano.

En un principio el número, la magnitud y la forma estaban relacionadas más con diferencias y contrastes que con semejanzas (ejemplo: un lobo, muchos lobos, un pez y una ballena; la redondez de la luna y el sol con el largo de un árbol, un río o la extensión de una montaña.) Después, en forma gradual, y, a partir de las experiencias desordenadas la constatación de que hay ciertas igualdades o semejanzas se va constituyendo el pensamiento matemático. (De la conciencia de la semejanza nacen la matemática y la ciencia en general). Esto fue una especie de conciencia gradual tan lejana como el uso del fuego aproximadamente unos 400.000 años atrás. La conciencia gradual de origen a la matemática y también es de anotar que en el niño  y en el hombre la conciencia tiene un desarrollo gradual. Aquí, muchos pedagogos de la época de la globalización, creen que no existe la infancia, que no hay un pensamiento infantil, desconocen la evolución cerebral y también la evolución de los conceptos matemáticos y cogen a los niños, a los alumnos, para verter en ellos, más  a la fuerza que con razón un saber matemático que está lejos de sus propios sentidos y de su gradual evolución cerebral y cognitiva. Un saber doctrinal y no escolar. Los sentidos del hombre y su ampliación mental llevan a la matemática, la cual, si bien es cierto que no sólo obedece a la experiencia sensible, sí es claro que apareció inicialmente como parte de la vida diaria del hombre.                       

                                               

Los números se expresaron con el cuerpo, con bases de dos, tres, cuatro, y cinco, 10, 20, y hasta 60, quizás por los 5 dedos de la mano y los 10 de las manos y los 20 del cuerpo y la correlación entre ellos como seis con 10 que dio origen al 60 (sexagésimal). Se sabe que los gestos constituyeron las primeras formas de expresión de cantidades numéricas y, con ellos, manifestaron sus primeras formas de operar con los números y producir resultados. Las formas mímicas fueron esenciales para la representación y expresión de cantidades. Los números se expresaron con el cuerpo, usualmente en grupos de cinco, base cinco, por los dedos de la mano.

En el cuarto milenio antes de nuestra era surgieron la escritura, la rueda, y los metales. En Mesopotamia los sumerios habían construido sus casas y sus templos decorados con artes y diseños geométricos. En ingeniería habían hecho sistemas de canales para regar la tierra y controlar las inundaciones. Su escritura cuneiforme fue anterior a Abraham y  anterior a la escritura jeroglífica egipcia  que pudo derivarse de ella. La invención de la escritura y los vehículos con ruedas fueron muy simultáneos.

Decir mesopotámicos es sinónimo de babilonios, sumerios, caldeos, en una cultura que se extiende desde el año 2000 a.c, al 600 d.c. Pueblos y tribus unificados por la escritura, las leyes, sus cuentos y su currículo escolar, y conformada por los pueblos kaldis, Amorritas, Cassitas, Elamitas, Hititas, Asirios, Medos y Persas. Todos los malos de la Biblia, que usualmente asoció sabiduría con maldad, incluso a un acto de sabiduría, de conciencia y libertad atribuyen su pecado original. Siempre ha sido una constante de la iglesia oponerse con el hierro y con el fuego a la ciencia. En todos, los tiempos, a través  de los siglos han sido los guardianes de la ignorancia.

Los sumerios trabajaron al tiempo en el sistema sexagésimal (60 como base) y el decimal (10 como base) pero la base fundamental era el 60, la de sus operaciones aritméticas tanto de enteros como de fracciones. Aquí trataremos de hacer conversión al decimal, porque el sexagésimal, en nuestro tiempo, sólo lo trabajamos para medir el tiempo y los ángulos.

Nunca pudieron representar con claridad una posición vacía (no había un símbolo para el 0) dejaban un espacio entre los numerales ¿Pero qué hacían la final de las cifras, o al principio? La carencia del símbolo fue un grave inconveniente del sistema. Por la época de Alejandro Magno, quizás como uno de los adelantos que siempre traen las guerras, se inventaron un par de cuñas oblicuas para el 0, se daban entre números no al final, esto era ( 10, 10, 0,1.1 en base 60, desde luego).

Fue superior la matemática mesopotámica a la egipcia. Su predominio se debió a su sistema posicional y por la extensión de este principio a las fracciones, cosa que explotaron con virtuosismo llegando al cálculo de las raíces cuadradas como con 3 cifras decimales (sexagesimales 1; 24, 51, 10 (;)=separación parte entera con la fraccionaria(,) para separar sucesivas posiciones sexagesimales) Este valor de los babilonios es semejante al 1,41421356 del sistema decimal que difiere en menos de 0,000008 del verdadero valor. Los sumerios tuvieron el mejor sistema de aproximaciones fraccionarias hasta el Renacimiento. Los matemáticos babilonios eran excelentes inventando métodos algorítmicos. Tales como el que usaron para apróximar raíces cuadradas. (Atribuidos primero a  Arquitas,  después a Herón y más tarde a Newton).  Este método babilónico es tan sencillo como eficaz.

En cierta medida la primera operación fue la de contar y la efectuaron con los dedos, ya de una mano, ya de las dos, o de las dos manos y los pies; ya con pequeños montones de piedra o haciendo incisiones en palos y huesos. De estos tiempos remotos es el 11 que significaba uno más; el doce 12 que significaba dos más y el 8 derivado de una forma dual para 4; novem 9 era nuevo, a partir del nueve se iba hacía una nueva cuenta,  hacía un nuevo ciclo, el comienzo de una nueva secuencia. En la expresión quatre vingt (cuatro veintes, para 80) también hay vestigios de un sistema vigesimal antiguo. De estos tiempos arcaicos, en los cuales, toda la matemática nos servía sólo para saber ¿Qué teníamos? ¿Qué habíamos perdido? ¿Cuántos éramos?

Con el surgimiento del lenguaje surge el pensamiento matemático abstracto. Las palabras para la matemática surgen lentamente; los signos para expresar números precedieron a las palabras. “Las lenguas modernas están construidas casi sin excepción sobre la base de numeración diez”1 Más bien no con el lenguaje sino con la escritura. El conocimiento matemático no es verbal sino abstracto y atemporal y el lenguaje oral es temporal, es siempre presente, no sirve para expresar abstracciones, ni para mantener un hilo de pensamiento a través del tiempo, ni sirve para operar (con palabras, con nombres, con sustantivos no se opera.) Así el 17 es 10 y 7 y no 5 y 5 y 5 y 2. Los lenguajes se desarrollan de lo  concreto a lo abstracto, de lo oral a lo escrito. Se inicia con expresiones como palmo, pie, codo, pulgada, vara (el largo del brazo) En Francia se creía que era el largo del brazo de rey Enrique XIV; y del pie se afirmaba que era el largo del pie del emperador Carlo Magno.

Las repeticiones de hechos, situaciones concretas por miles de años dio origen a los conceptos. “La generación del conocimiento en el hombre pasa por extraer los conceptos abstractos de situaciones concretas repetidas” vale decir de la experiencia, como sucede con el aprendizaje en el niño.

Se discute si la matemática tuvo un origen práctico o se inició en rituales religiosos primitivos. También se cree que el aspecto ordinal precedió al concepto cuantitativo (primero el orden y después  la cantidad; primero el género, que las particularidades. Esto semeja la evolución del cerebro de los niños. Para quienes es primero lo general que lo particular) en los ritos sexuales. De ese aspecto tan decisivo en la vida de los hombres antiguos y de los modernos,  del sexo resulta una división ritual de los números naturales en impares (masculinos) y pares (femeninos). Esta dicotomía de los sexos lleva a los ritos de los números machos y hembras.

Quienes creen  en un orígen geométrico de la matemática, se sustentan en autores como Heródoto  quien afirma que la geometría se origina en Egipto por la necesidad de volver a trazar las lindes de las tierras después de las inundaciones anuales del Nilo. Aristóteles  creía que se había originado en Egipto por la existencia de una clase sacerdotal ociosa ¿Origen práctico o clase sacerdotal ociosa? A los agrimensores se les llamo “Tensadores de la cuerda”. Las cuerdas fueron instrumentos matemáticos de la antigüedad usados tanto para reconstruir los planos de los templos como para componer las fronteras borradas entre los terrenos. Hay también un grupo que cree en un origen ritual de la geometría, de ahí los Salvasutras (India), “Reglas de la cuerda”, relaciones sencillas que se usaron en la construcción de altares y templos.  Es posible una protogeometría común en India y Egipto a partir de ritos antiguos.

Entre las actividades del hombre neolítico han llamado la atención su alfarería, su cestería, sus tejidos y sus dibujos geomorfológicos que denotan su interés en las relaciones espaciales las cuales prepararon el camino a la geometría. En ellas se revelan congruencias y simetrías. De otra parte se han encontrado ciertas evidencias sencillas de sucesiones, en ellas se vislumbra una especie de teoría de grupos aplicada.

Los babilónicos resolvían con facilidad la ecuación de 2º grado, ya tenían un buen manejo de las operaciones algebraicas. Manejaban los inversos aditivo y multiplicativo, lo que implica un buen manejo de los sistemas de numeración en cuanto al álgebra se refiere. A su manera (digo, porque no usaban símbolos sino palabras) estaban familiarizados con los productos notables y el factorizar. Los sumerios usaban palabras para las incógnitas. Estas se expresaban como “longitud”, “anchura”, “área”, “volumen”  y estos sabios no tenían ningún escrúpulo en sumar superficies con longitudes o áreas con volúmenes. Esto nos lleva a meditar que es más importante para el conocimiento el concepto, el sentido que el algoritmo,  y que la adquisición de la longitud, el área y el volumen son un proceso evolutivo. De los tres, el último (y no el primero como creen algunos “pedagogos” deslumbrados de mi país) es el volumen, antecedido por el área. Invertir el orden de estos contenidos matemáticos es como invertir la suma con la multiplicación. La suma está relacionada con la longitud y la multiplicación con el área y las potencias con el volumen. Euclides comienza con la longitud, con las nociones comunes, y, en la evolución del conocimiento, en su génesis y desarrollo,  se repite este recorrido.

Sería muy útil antes de empezar a usar las incógnitas como abstracciones, como universales de conjuntos hacerlo, como en un principio, con la imagen del objeto del objeto real que representan. En la didáctica actual nos lanzamos muy rápido a las abstracciones, sin pasar por un álgebra geométrica y una manipulación de concretos. ¿Cuál es la diferencia entre lo concreto y lo general? En cuanto al conocimiento. Si bien es cierto que estas tablillas contenían concretos ¿Qué tan lejos estaban de lo general?

Los problemas semejantes implican generalidad y conciencia. Ellos pudieron recorrer el camino que va de los dos ejemplos concretos a ecuaciones más generales. Longitud y anchura pudieron ser vistos como y ¿Por qué representaban cantidades desconocidas? Con el problema de los gatos Boyer ve humor o abstracción.

1·    Profesor de matemáticas en un colegio de Bogotá, escritor de los libros: Álgebra Básica, sobre historia de la matemática, métodos y didáctica; Aritmética Básica o historia de las matemáticas. Historia y epistemología del número, más de 300 años de historia. Miembro del colectivo Bertran Russell, que trabaja sobre filosofía, historia y literatura. Su filosofía es: amamos el conocimiento por el conocimiento y reivindicamos el derecho del pueblo a tener acceso a la ciencia y el arte.