Noción, sensación y sentido numérico* (I)

Las nociones de espacio y de cantidad ¿Son aprendidas o innatas? El profesor Omar Ciro  Restrepo nos habla del proceso de aprendizaje matemático en los niños y de la historia de los números. 

Los dos años son un momento clave en el desarrollo matemático del niño. En ésta etapa comienza a tener relaciones espaciales de arriba, abajo, al lado (cuando dice aquí o allá con respecto a un objeto). En estos meses juega con agua o toma gaseosa y dice que le llenen el vaso o que se lo den vacío. Es decir, tiene relaciones espaciales y de cantidad, lo que será fundamental para la geometría, la medida y la adquisición del número. También, estas relaciones lo llevan a tener una noción de los contrarios que son la esencia de la matemática y de toda comprensión de la naturaleza. Sin embargo, son nociones generales, sin particularizar, sin referentes concretos. Ellos (los bebés) aún no han llegado a los particulares (lo harán por los tres, cuatro años).

No faltan autores que ven estas nociones como innatas, lo que según ellos demuestra que nuestro cerebro está equipado desde el nacimiento con un exclusivo sentido matemático. Así, percibir los números, (quiero decir tener la sensación, el sentido, más no el conocimiento de los mismos que es adquirido y producto de la evolución en miles de años) las relaciones espaciales o las de cantidad, como más adelante los distintivos será una cualidad natural de los hombres (y de mucho mamífero superior, al igual que de las aves). Es semejante a la capacidad singular de cantar que poseen ciertos pájaros. Los conceptos matemáticos (números, operaciones, distancias, cálculos) no son sólo una creación cultural sino que responden a cualidades congénitas, a una arquitectura especial del cerebro, (y del cuerpo), y a la posibilidad de la herencia.

Hay quienes opinan (como Dehaene) que los números son como el color que no existe como tal en el mundo físico, sino que es una construcción subjetiva de nuestro cerebro, según éste, interpreta las diferentes longitudes de onda, en las que le llega la luz reflejada por los objetos, igual puede suceder con los números, son una conclusión debida al mundo cambiante y móvil en el cual nos movemos, que nos permite cuantificar (una especie de negación de contrarios o de su afirmación, una separación de ser y nada, cuantificar es diferenciar).

La cualidad de la neurociencia es biológica, por ello, se sabe de algunos animales que suelen contar como los pájaros. El niño también puede distinguir una gran cantidad de una pequeña; lo mucho y lo poco (lo hace hacía los tres años, si ve varias cosas, dice muchos, si ve una, dice una) lo vacío y lo lleno, lo lejos y lo cerca, lo grande y lo pequeño (a veces para él lo grande y lo pequeño suele ser lo más intenso, un color, o su propio interés en el objeto, o su cariño por alguien) como relaciones fundamentales de la matemática que le son congénitas. Los científicos han podido estudiar incluso el hemisferio cerebral en el cual se realizan las operaciones de comparación, resta y multiplicación y han podido constatar que personas con lesiones en éstas partes del cerebro, no son capaces de sumar 2+2, o distinguir una docena de una decena. Stanislas Dehaene afirma que la capacidad matemática presenta un origen biológico, de ahí que algunos niños desarrollen un gran talento para la aritmética mientras que otros pueden permanecer inmaduros toda la vida. Propone como clave para la adquisición aritmética un lenguaje (por ejemplo, en chino 11,12,13,14,etc es 10 y 1; 10 y 2; 10 y 3; 10 y 4; lo cual le facilita al niño su aprendizaje) de los números, y afirma que éstos no son sólo léxico sino también forma, posición en el espacio y hasta color, pues, cada persona genera su propia representación de las cifras.

Las sucesiones de números aparecen en nuestra mente como líneas, escaleras, curvas sinuosas o redes. Dice Dehaene que cuando se trata de dígitos aislados, los menores de 12 suelen surgir en negro y los mayores sugieren una cierta sensación de color. A este tipo de representación a veces se añaden asociaciones entre cifras y figuras geométricas, temperaturas y sensaciones. Dichas sinestesias se forman en la infancia y no parecen guardar relación con el aprendizaje. He aquí algunas representaciones de números que le comentaron a él personas espontáneas en la Universidad de Lovaina:

“El 98, está arriba a la izquierda”; “el 1, es negro; el 2, blanco, y el 3, amarillo”. “el 9 es un gigante que me da miedo, el 8 es la mujer de éste, el 6 no tiene sexo pero es dulce y leal, el 3 es una forma atenuada del 9, el 2 es amarillo y el uno un pobre diablo”. Los impares son fríos. Los pares, cálidos y simpáticos.” (Revista muy interesante, año 14, número 164. pp. 51).

En el sur de Bogotá me han expresado las siguientes representaciones propias, imágenes inconscientes que se les venían a la mente a alumnos de una escuela pública sin conocimiento alguno sobre las cifras (sobre todo su historia). Hay números repetidos porque esto es producto de un diálogo espontáneo con muchos de los infantes que asistían a mi clase de matemáticas: el 2, decían, es un pato; el 3, es una lombriz; el 8, una persona gorda; el 8, un muñeco; el 2, cuadritos; el 3, rectángulos; el 24, naturaleza, frescura; el 1, una bandera; el 5, un pescado; el 6, carita con sombrero; el 8, un osito; el 3, un pollito; el 13, una pera; el 23, la bandera de Colombia; el 28, la idea de futuro; el 100, juegos; el 200, lucha por la paz; el 250 el 4, un hombre con las piernas cruzadas; el 1, un hombre flaco; el 13, miedo; el 10, mi papá y mi mamá, pero no tengo papá.

Son apenas algunas de las representaciones inconscientes que algunos niños y adolescentes tienen en forma espontánea frente a los números. Es el mismo fenómeno que se da frente a algunas palabras. Hay quienes me han dicho que la palabra Janneth, le representaba moño; si escuchaba decir salchicha se figuraba los genitales masculinos; montar, idea de libertad, computador, una pelota. También las letras les evocaban imágenes inconscientes así: o, el sol; la s, la lombriz; d, la tortuga; o, el caracol; a, una casita; i, una salchicha; a, una manzana; la misma m, era para unos emblema de mariposa y para otros de montaña o paloma; z, una señorita; w, una canoa.

Este tipo de representaciones se forman en la infancia ¿Cómo se forman?, ¿Por qué se forman?, ¿Cómo y por qué permanecen? ¿qué relación tienen con el conocimiento o con la locura? ¿Hay alguna conexión entre la representación y el mundo exterior?   ¿Obedecen al inconsciente colectivo o se forman por fuera de la herencia y la cultura?.¿Por qué hay personas que carecen de toda representación?¿Jugaron y juegan algún papel en el proceso de formación y adquisición del álgebra como lenguaje simbólico?

Históricamente los números han tenido alegorías: para los griegos cada número tenía un significado. Podían ser del matrimonio, del amor, de la divinidad, del universo (es decir, el 3 que era el número del todo), etc y de ellos, de los griegos y sus figuraciones con lo real, nos vienen los nombres que aún hoy se utilizan en las matemáticas como son: números  triangulares, cuadrados, rectangulares, primos, etc. Para los filósofos griegos los números tenían dos formas de ser interpretados, así: el 1, era el punto; el 2, la línea, el 3, la superficie y el 4 el cuerpo, la figura sólida etc. Otros decían a la inversa, que el cuerpo, el sólido estaba formado por un punto (como esencia), pues éste al fluir forma la línea, ésta al moverse la superficie y ésta a su vez, el cuerpo. Los primeros explicaban el número a partir del 1 y del 2 y luego de ellos los puntos y las líneas; los otros sacan del uno todas las figuras; para los primeros lo importante es la dualidad 1, 2, (lo uno, y los muchos, lo singular y lo plural). Para los otros, lo importante es la actividad, que del uno salga el dos, el tres, etc.

En la historia del conocimiento es fundamental la experiencia, los objetos, la actividad con ellos, la noción de las representaciones espaciales y temporales. Por ello, en el surgimiento del número está implicado el desarrollo de la inteligencia humana, su evolución, es su parámetro natural. Un avance que viene desde la sensación y la representación hasta la abstracción (los griegos decían que el número no era ni lo uno ni lo otro, que ocupaba un lugar intermedio entre la representación, el concreto como tal, y la idea, la pura abstracción). Pero es cierto y comprobado, que el número comienza por ser noción, representación, sentido. Muchos indígenas actuales y nuestros niños en cierta fase de su desarrollo sólo pueden percibir uno, y muchos. Los indígenas mencionan el uno para la unidad y el otro para el par, para decir 3 ó 4 articulan los números como dos- uno y dos- dos. Más allá de estas dos imágenes todo es impreciso, usan palabras como muchos, varios, una multitud.

Georges Ifrah nos menciona: “más allá de tres o cuatro elementos, se limitan a mostrar su cabello como para decir: “son tan innumerables ¡Como los cabellos de mi cabeza!” “En realidad, ellos no perciben el número bajo el ángulo de la abstracción. Más bien es “sentido” de un modo cualitativo, un poco como se percibe un olor, un ruido o la presencia de un individuo o de una cosa del mundo exterior. Para su inteligencia, el número está reducido a una noción global bastante confusa–“la pluralidad material”-y adquiere el aspecto de una realidad concreta indisoluble de la naturaleza de los seres o de los objetos considerados. Es decir, que esos indígenas no tienen conciencia, por ejemplo, de que una agrupación de cinco hombres, cinco caballos, presentan una característica común, que es precisamente la de “ser cinco”. (Georges Ifrah. “Las cifras, historia de una gran invención”.pg 18.) y este descubrimiento es tardío, se da en los preludios del siglo XX, cuando aparecen los grandes lógicos, los que fundamentan la matemática, los que la convierten en una ciencia, a semejanza de lo que hizo Euclides con la geometría antigua, (Dedekind G. Frege, D, Hilbert, Russell como los más destacados)

Para los primitivos y para todo individuo la posibilidad numérica comienza por ser la percepción directa del número, o la sensación numérica, que no tiene nada que ver con la facultad abstracta de contar. Los niños (aún mayores de tres años) no están facultados para concebir los números en sí mismos y sus posibilidades numéricas se reducen a una apreciación global del espacio ocupado por los seres y los objetos circundantes. En los primeros años  sólo distinguen el uno, el par y la pluralidad.

Históricamente los primeros conceptos inteligibles para el hombre fueron el uno y el dos. Uno, dice G. Ifrah “es el hombre activo”. Es él mismo en el seno de un grupo social y su propia soledad frente a la vida y la muerte. Es también el símbolo del hombre erguido; el falo erecto que distingue al hombre de la mujer. “El dos, corresponde a la evidente dualidad de lo masculino y lo femenino, a la simetría aparente del cuerpo humano. Es también el símbolo de la oposición, de lo complementario, de la división, del conflicto y se manifiesta, en la idea de vida y muerte, de bien y  mal, de verdadero y  falso, etc” (pp. 18, 19.). De ahí que las brujas en la Edad Media fueran quemadas sólo en número par, porque estos eran los números femeninos, mientras que los impares eran los masculinos.

Muchos autores recalcan del uno y de muchos (del particular y el dual) el origen del singular y el plural en los idiomas. En griego antiguo el lobo, los dos lobos, los lobos; en árabe moderno un hombre, dos hombres, hombres. En ortografía el tres indicaba tres ejemplares y también el plural. En chino antiguo la idea de bosque eran tres árboles; y una multitud eran tres hombres. En definitiva, el uno era el hombre,  el miembro viril; el dos, la mujer y el tres, era el sentido de lo mucho como la “s” final en el español. En francés tres es “muy”; en latín trans es más allá; en francés antiguo el tres era “hasta” y transir era “ir más allá”. En inglés thrice, tiene dos significados: “tres veces”, y también “varios”. Para ellos three (tres); through “más allá”; en sajón tira “tres”; throp “acumulación”; troppo “mucho más de lo necesario”; troppus “rebaño, banda” que da origen a las palabras tropa, truppa, troop,  trupp. Estas expresiones tienen la misma raíz etimológica. “ El número tres ha sido sinónimo de pluralidad, de multitud, de acumulación, de más allá, etc, y ha constituido, por consiguiente, una especie de límite imposible de concebir ni precisar. Lo que quiere decir que, en el espíritu del hombre la invención de los números ha marcado una primera pausa en dos tiempos” (pp. 20) de la secuencia, uno, dos muchos, se pasa a las formas universales del singular y el plural, de los dos géneros determinantes de los idiomas.

Algunos animales también cuentan con una percepción directa de los números. Un jilguero (en montoncitos de granos) puede distinguir tres de uno, tres de dos, cuatro de tres y seis de tres. Pero confunde cuatro y cinco y de ahí en adelante (a cualquier pájaro que se le retire uno de sus huevos del nido, destruye los otros, por lo regular no pasan de tres).

Los hombres no percibimos en forma directa más de cuatro elementos (hasta cuatro sabemos cuantos, sin contar, pero más allá tenemos un montón). Tal vez a eso se deba el hecho de que muchas tribus sólo cuenten hasta cuatro. A éste respecto G. Ifrah comenta de los romanos antiguos: “Los nombres que los romanos solían conceder a sus hijos del sexo masculino (¡En aquella época las hijas no tenían nombre propio!) eran, hasta el cuatro inclusive, apelativos particulares con formas normales, como por ejemplo: Appius, Aulius, Gaius, Lucius, a partir del quinto se limitaban a llamar a sus hijos con simples nombres de números: Quintus (el quinto), Sextus (el sexto), Octavius (el octavo), Decimus (el décimo)… Los cuatro primeros meses del año eran los únicos con nombres particulares (Martius, Aprilis, Maius, Junius), porque a partir del quinto, los nombres de los meses no eran sino números de orden: Quintilis, Sextilis, September, October, November, December.”(pg..24) Fue más tarde cuando algunas personalidades históricas les dieron nombre a otros meses del año como Julius, Augustus (julio, agosto) y unas festividades religiosas le dieron nombre a los primeros meses del año.

* Autor de varios artículos y libros sobre las matemáticas y su historia, profesor en un colegio público en Bogotá.